Возможно ли наличие ошибки в формуле a/b + c/d = (ad + bc)/bd?
Вопрос
Может быть ошибка в формуле a/b + c/d = (ad + bc)/bd? Я заметил, что если общий знаменатель (bd) не является наименьшим, то вычисления могут стать медленными и привести к большим числам. Возможно, стоит изменить формулу, чтобы использовать наименьший общий знаменатель?
Ответы ( 5 )
Формула a/b + c/d = (ad + bc)/bd является правильной и не содержит ошибки. Она представляет собой правило сложения дробей, где числитель первой дроби (a) умножается на знаменатель второй дроби (d), а числитель второй дроби (c) умножается на знаменатель первой дроби (b). Затем полученные результаты суммируются и делятся на произведение знаменателей (bd), чтобы получить итоговую дробь.
Если общий знаменатель (bd) не является наименьшим, это не означает ошибку в формуле. Различные дроби могут иметь разные знаменатели, и при сложении необходимо привести их к общему знаменателю. Если наименьший общий знаменатель не используется, расчеты могут быть медленными и привести к большим числам. Однако это не является ошибкой, а может быть проблемой эффективности вычислений.
Если требуется использовать наименьший общий знаменатель, можно привести дроби к общему знаменателю перед сложением. Наименьший общий знаменатель можно найти путем нахождения наименьшего общего кратного знаменателей двух дробей и затем приведения каждой дроби к этому знаменателю. Это позволит выполнить вычисления с использованием наименьшего общего знаменателя и избежать медленных расчетов или больших чисел.
Таким образом, формула a/b + c/d = (ad + bc)/bd является правильной и корректной. Если требуется использовать наименьший общий знаменатель, можно привести дроби к общему знаменателю перед сложением.
В самой формуле нет ошибок, за исключением указанной Котеночкиным. Знаменатель должен быть заключен в скобки. Эта формула является всеобщей и подходит для любого случая. Если (bd) не является наименьшим знаменателем, то конечную дробь можно сократить. Однако проблема заключается в том, что вы не можете сократить дробь до тех пор, пока не найдете числитель (ad+bc). Приведу простой пример: 1/3 + 1/6 = (6+3)/18 = 9/18 = 1/2. Даже если мы найдем наименьший знаменатель 6, результат будет таким: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2. Пока не найден числитель, невозможно определить, можно ли сократить исходную дробь или нет.
В данной формуле сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями присутствует незначительная ошибка, которая, однако, не влияет на конечный результат. Точное название этой ошибки мне неизвестно. Можно сказать, что это логическая ошибка, заключающаяся в том, что формула должна быть записана как a/b + c/d = (ad + сb)/bd. Тем не менее, данная ошибочная запись не влияет на результат сложения, так как результат остается неизменным при перестановке множителей с и b.
В формуле a/b + c/d = (ad + bc)/(bd) есть ошибка. Компьютер может заметить эту ошибку, но человеку может быть сложно понять, где она была допущена, особенно если вычисление происходит внутри большой программы. Однако, это уже другой аспект вопроса. Что касается замедления вычислений, то в определенном диапазоне значений (например, если b и d меньше 1 000 000), должно не быть заметного замедления. Даже при более высоких значениях, произойдет переход к числам с плавающей запятой. Однако, может пострадать точность вычислений, если a имеет общие делители с d и/или c имеет общие делители с b. Если значения a, b, c, d не являются изначально заданными константами, а появляются в результате предварительных вычислений, то невозможно избежать этой проблемы, независимо от используемой формулы.
Это один из известных законов алгебры, возможно ассоциативный. В этом случае нет смысла сомневаться, особенно если мы выполняем «операцию» почленного деления на ненулевые выражения и видим, что левая и правая части равны. Рассмотрим правую часть: (ad + bc) / bd = ad / bd + bc / bd = a / b + c / d. Мы видим, что при почленном делении правой части мы получаем исходную — левую часть, что справедливо согласно ассоциативному закону. Ни один закон не был нарушен, и мы не использовали никаких дополнительных условий, которые могли бы привести к неравенству левой и правой частей при других условиях. Можно также привести численные примеры, но это, кажется, не имеет особого значения.
В самой формуле нет ошибок, поэтому можно без сомнений использовать ее при решении подобных примеров. Однако, если в знаменателях дробей встречаются сложные числа, которые можно представить как произведение двух или более простых чисел, иногда полученную формулу можно немного упростить. Например, вместо 7/8 + 5/6 можно записать 7/(2*4) + 5/(2*3), что равно (7*3 + 5*4)/(2*4*3) = 41/24, вместо 7/8 + 5/6 = (7*6)/(8*6) + (5*8)/(6*8) = (7*6 + 5*8)/48 = 82/48 = 41/24. В данном случае наименьшим общим знаменателем будет 24, а не 48. Однако, если в знаменателях обеих дробей встречаются сложные числа, которые не имеют общих множителей, то упрощение невозможно. Например, 7/9 + 3/4 = (7*4 + 3*9)/(9*4) = 55/36 и никак иначе, хотя и 9, и 4 можно представить как произведение двух троек и двоек, соответственно.