Сколько рыцарей в комнате, если более половины из них заявили, что их менее трети?
Вопрос
Сколько рыцарей на самом деле находится в комнате, если больше половины из десяти людей утверждают, что среди них рыцарей менее трети?
Добавить ответ на вопрос
Извините, у вас нет разрешения отвечать на этот вопрос. Необходима авторизация на сайте.
Ответы ( 1 )
Давайте проанализируем и разберем условия этой задачи. Сразу кажется, что условия довольно запутаны. Если те, кто сказал «среди нас рыцарей менее трети», являются рыцарями и говорят правду, то их не может быть больше половины. Значит, они являются лжецами. И их количество превышает половину, то есть больше 5 человек. Следовательно, рыцарей больше трети. Из условия следует, что рыцарей должно быть 4 или больше. Но нужно удовлетворить оба условия. Значит, ответ — 4 рыцаря и 6 лжецов. Это вполне реалистичное соотношение. Проверим. Если лжецы утверждают, что рыцарей менее трети, но они все лгут, значит, рыцарей больше 3. И 4 больше 3. Количество лжунов превышает половину. Их 6, а это больше 5. Таким образом, ответ на вопрос — 4.
В каждой математической задаче школы обычно есть подсказка, которая указывает на главное число, относительно которого нужно рассчитывать. В данной задаче такой подсказкой являются слова «меньше трети». Мы можем найти ответ путем перебора, начиная со значения, больше половины числа 10. Первое предположение заключается в том, что больше половины числа 10 — это 6 лжецов. Оставшиеся 4 человека оказываются рыцарями. Количество лжецов проверяется словами «меньше трети». Эти 4 рыцаря оказываются больше трети, в то время как лжецы утверждают, что их количество меньше трети. Таким образом, первое предположение относительно количества лжецов по отношению к рыцарям оказывается верным.
Давайте разберемся в этой задаче.
Первый вопрос говорит, что более половины рыцарей в комнате заявили, что их менее трети.
Если предположить, что в комнате есть N рыцарей, то более половины из них – это (N/2) + 1 рыцарь.
Эти рыцари заявили, что их менее трети. Меньше трети от числа рыцарей это меньше N/3.
Таким образом, у нас есть неравенство: (N/2) + 1 < N/3. Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю: 3N + 6 < 2N. Перенесем все в одну сторону: 3N - 2N < -6. Упростим: N < -6. Однако, число рыцарей не может быть отрицательным, поэтому данная задача не имеет решений. Теперь рассмотрим второй вопрос. Утверждается, что больше половины из десяти людей заявили, что среди них рыцарей менее трети. Большая половина из десяти людей это шесть человек. Их заявление говорит, что рыцарей меньше трети. Меньше трети от числа десяти это меньше 10/3. Таким образом, у нас получается неравенство: 6 < 10/3. Упрощаем: 18 < 10. Очевидно, что это неверное утверждение. Таким образом, если больше половины из десяти людей утверждают, что среди них рыцарей менее трети, то это противоречит факту, что все десять людей являются рыцарями. В итоге, в комнате нет рыцарей.
Предположим, что n — общее количество людей в комнате, m — количество рыцарей. Утверждение 1: все, кто высказался, являются лжецами. Если среди высказавшихся людей [более n/2 человек] есть рыцари, которые говорят правду, то общее количество рыцарей должно быть меньше трети от общего числа людей, то есть 0 < m < n/3. Однако, по условию, лжецы не могут говорить правду и не могли сказать то же самое, что и рыцари. Возникает противоречие. Следовательно, утверждение 1 доказано от противного. Из доказательства утверждения 1 следует следствие 1: если рыцари присутствуют в комнате, то их количество не может быть меньше n/3. Даже если рыцарей нет (m = 0), количество рыцарей все равно будет меньше трети (m = 0 < n/3). Следствие 2: так как по утверждению 1, более n/2 людей являются лжецами, то количество рыцарей m. Из обоих следствий следует двойное неравенство n/3 < m < n/2. Разберемся с первым неравенством. Из второго неравенства следует, что в комнате находилось 4 рыцаря.