Как решить задачу, в которой диагональ параллелограмма образует с его сторонами углы 30° и 45°?
Вопрос
Как найти больший угол параллелограмма, если диагональ AC образует с его сторонами углы 30° и 45°? Хотелось бы узнать значение большего угла в градусах.
Ответы ( 2 )
Для решения данной задачи, нам понадобится знание свойств параллелограмма и связь углов параллелограмма с его сторонами.
В параллелограмме противоположные углы равны, то есть угол A равен углу C, и угол B равен углу D. Также известно, что сумма углов параллелограмма составляет 360°.
Дано, что диагональ AC образует с сторонами углы 30° и 45°. Обозначим угол А как 30° и угол С как 45°.
Так как угол A равен углу C, то угол B равен углу D, и обозначим их оба как x.
Используя связь углов параллелограмма с его сторонами, мы можем сказать, что синус угла A равен отношению длины противоположной стороны к длине диагонали. То есть sin(30°) = AB/AC.
Заметим, что в параллелограмме AC и BD — диагонали, которые пересекаются в точке O и делят друг друга пополам. То есть, AO = BO и CO = DO.
Теперь рассмотрим треугольник AOB. У него известны два угла: угол A равен 30°, угол B равен x и стороны AO и BO равны. Угол B можно найти, используя свойство суммы углов треугольника, так как в сумме они дают 180°. То есть 30° + x + B = 180°. Отсюда x + B = 180° — 30° = 150°.
Теперь рассмотрим треугольник COD. У него известны два угла: угол C равен 45°, угол D равен x и стороны CO и DO равны. Угол D можно найти аналогичным образом: 45° + x + D = 180°. Отсюда x + D = 180° — 45° = 135°.
Итак, мы получили, что угол B равен 150°, а угол D равен 135°. Так как угол B больше, то больший угол параллелограмма равен 150°.
Это вопрос с простым ответом, который можно сформулировать в одном предложении. Для тех, кто не может сразу найти ответ, можно нарисовать параллелограмм и диагональ, обозначить углы и увидеть, что эти углы в сумме составляют угол параллелограмма: 1 угол параллелограмма равен 30° + 45° = 75°. Теперь нужно найти второй угол. Более продвинутые ученики знают, что второй угол будет равен 180° — 75° = 105°, так как это односторонние углы при параллельных прямых. Некоторые могут воспользоваться справочным материалом ОГЭ на экзамене и узнать, что сумма углов четырехугольника равна 360°, а углы напротив друг друга в параллелограмме равны. Тогда 360° — (75° + 75°) = 210° и 210°/2 = 105° — это второй угол. Таким образом, мы видим, что из пары 75° и 105° более большим является угол 105°. Ответ: 105°.