Как проводить сокращение дробей, если в них присутствуют степени?
Вопрос
Как я могу сократить дроби, в которых есть степень? Я не очень понимаю, как нужно сокращать дроби, если в числителе или знаменателе есть степень. Можете ли вы объяснить мне процесс сокращения дробей со степенями? Буду благодарен за вашу помощь.
Ответы ( 1 )
В операциях с числами в степени существуют простые правила. При умножении чисел в степени, степени складываются, а при делении — вычитаются. Например, когда мы умножаем 5^2 на 5^3, мы складываем степени: 5^2+3, что равно 5^5. При делении 5^2 на 5^3, мы вычитаем степени: 5^2-3, что равно 5^-1. Важно отметить, что показатели степеней складываются при умножении и вычитаются при делении, независимо от того, является ли степень положительной или отрицательной.
Сокращение дробей со степенями следует выполнить по общим правилам сокращения. Если в числителе и знаменателе присутствуют степени одного и того же числа, то их можно сократить путем вычитания соответствующих степеней.
Если в числителе и знаменателе есть степени различных чисел, то сначала следует разложить числа на простые множители, а затем использовать свойство степени для сокращения.
Например, если у нас есть дробь (2^3 * 3^2) / (2^2 * 3), то мы можем сократить их следующим образом:
(2^3 * 3^2) / (2^2 * 3) = (2^1 * 3^2) / (2^1 * 3) = 3
То есть, мы сократили степень 2 в числителе и знаменателе и получили конечный результат.
Важно помнить, что при сокращении дробей со степенями, выполняются все арифметические операции со степенями, включая сложение, вычитание, умножение и деление.
Если у вас остались конкретные примеры, с которыми вы испытываете затруднения, пожалуйста, укажите их, чтобы я мог дать более подробные объяснения.
Вначале необходимо хорошо усвоить правила. Их всего 4. 1) Когда умножаются разные степени одного числа, показатели степеней суммируются. Например: 3^2*3^4=3^(2+4)=3^6. 2) При делении разных степеней одного числа, показатели степеней вычитаются. Например: 5^12/5^9=5^(12-9)=5^3. 7^5/7^9=7^(5-9)=7^(-4)=1/7^4. 3) Когда степень возводится в степень, показатели степеней умножаются. Например: (2^3)^4=2^(3*4)=2^12. 4) При извлечении корня из степени числа, показатель степени делится на показатель корня. Например: √(5^8)=5^(8/2)=5^4. Теперь перейдем к конкретному решению. Число 4 — это 2 во второй степени. Значит, 4^8=(2^2)^8=2^16. Двойка во второй степени, возведенная в восьмую степень, будет равна двойке в шестнадцатой степени. 2^16*2^2=2^18. В числителе у нас имеем 2^18. В знаменателе разные степени 5 и 16. Однако 16 — это 2 в четвертой степени, то есть 16=2^4. Тогда 16^5=(2^4)^5=2^(4*5)=2^20. Таким образом, в знаменателе у нас получается 5^2*2^20. И числитель, и знаменатель можно сократить на 2^18. В числителе останется 2^(18-18)=2^0=1, а в знаменателе — 2^(20-18)=2^2. Итоговый ответ: 1/(5^2*2^2). По желанию, его можно упростить: 1/(5^2*2^2)=1/(25*4)=1/100. Можно продолжить преобразования: 1/100=1/10^2=10^0/10^2=10^(0-2)=10^(-2). Однако это необязательно.
Чтобы сократить дроби со степенями, нужно придерживаться следующих правил: 1) При умножении чисел с разными степенями, нужно сложить степени; 2) При делении чисел с разными степенями, нужно вычесть степени; 3) При возведении степени в степень, нужно умножить показатели степеней; 4) При извлечении корня из степени, нужно разделить показатель степени на показатель корня. В данном примере нам пригодятся первые два правила: 4^8*2^2/5^2*16^5 = 4^9/5^2*4^10 = 1/5^2*4 = 1/100 = 0,01