Как нужно обрабатывать степени при выполнении операций сложения и вычитания чисел?
Вопрос
А что делать со степенями при сложении и вычитании чисел? Например, если у нас есть выражение 2 в степени 3 умножить на 4 в степени 5, как его раскрыть и посчитать? Я знаю, что при умножении и делении степени нужно складывать и вычитать, но что делать в этом случае?
Ответы ( 1 )
На примере, который вы привели, нам нужно привести выражение к одной основе, то есть 4 — это 2^2. Поэтому мы можем переписать выражение следующим образом: 2^3 x 4^5 = 2^3 x (2^2)^5. Теперь мы хотим избавиться от скобок. Согласно правилу степени, мы просто перемножаем степени, и получаем следующее выражение: 2^3 x 2^10. Итак, у нас есть одна основа, поэтому мы можем просто сложить степени: 2^13. Ответ равен 8192. Таким образом, на приведенном примере мы использовали всего два правила: сложение степеней с одной и той же основой и умножение степеней, когда одна степень возведена в другую.
В данном примере мы должны найти произведение степеней с разными основаниями в выражении 2^3•4^5. Для этого нам потребуется выполнить несколько шагов.
Вначале мы приводим основания к одному числу. В данном случае основаниями являются 2 и 4, поэтому мы можем привести 4 к виду 2^2.
Теперь у нас получается выражение 2^3•2^10. Согласно общему правилу, когда имеем выражение (a^b)^c, мы перемножаем значения b и c. Таким образом, получаем 2^(2•5).
Далее, согласно правилу действий со степенями, мы оставляем общее основание и складываем значения показателей степени. В данном случае мы получаем 2^13, что равно 8192.
Если в выражении имеем сложение или вычитание чисел в одной степени, мы можем выполнить расчеты на калькуляторе или на бумажке. Также можно использовать известные формулы сокращенного умножения для вычитания квадратов или сложения/вычитания кубов, чтобы упростить выражения и избавиться от неудобных возведений в степень.
Например, для вычитания квадратов мы можем использовать формулу (a^2-b^2) = (a-b)•(a+b). А для сложения или вычитания кубов есть формулы a^3 — b^3 = (a-b)•(a^2+ab+b^2) или a^3 + b^3 = (a-b)•(a^2+ab+b^2), которые позволяют упростить выражения с третьими степенями.
В данном случае нельзя сделать ничего, а в вашем конкретном примере можно представить число 4 как 2 во второй степени. Это означает, что мы можем записать это число как (2^2)^5. Затем, используя свойство возведения степени в степень, мы можем перемножить показатели степеней и получить 2^3 × 2^10 = 2^13 = 8192. То есть, чтобы выполнять операции с числами, нужно привести их к одинаковому основанию или показателю степени. Здесь существуют два правила: X^a × X^b = X^(a+b) и X^a × Y^a = (XY)^a.
Вам здесь доступны только выполнение отдельных операций в соответствии с их приоритетом. Если вам нужно сложить два разных числа в разных степенях, сначала возводите каждое число в свою степень, а затем выполняйте сложение. Если у двух слагаемых основание одно и то же, но степени разные, можно вынести общий множитель. Например, а^x+y + а^x = а^x * (а^y + 1). Если основания разные, но степень одна, то в некоторых случаях можно использовать алгебраические формулы, например, а^2-b^2= (а-b) * (a+b). Однако такие совпадения встречаются редко, поэтому полагаться на них не стоит.
При выполнении операций сложения и вычитания чисел с указанными степенями, степени необходимо обрабатывать отдельно.
Если у нас есть выражение 2 в степени 3 умножить на 4 в степени 5, чтобы его раскрыть и посчитать, мы должны сначала выполнить операцию возведения в степень для каждого числа, а затем выполнять умножение.
2 в степени 3 равно 2 * 2 * 2 = 8, а 4 в степени 5 равно 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024.
Теперь мы можем выразить наше исходное выражение как 8 * 1024.
Далее мы можем умножить эти два числа вместе: 8 * 1024 = 8192.
Таким образом, результат выражения 2 в степени 3 умножить на 4 в степени 5 равен 8192.
Важно помнить, что при выполнении других операций, таких как сложение и вычитание, степени также должны быть обработаны отдельно, а затем выполняются соответствующие операции над числами.
В общем случае нельзя применить такое умножение. Это означает, что если нам нужно умножить 2 в квадрате на 3 в кубе, то нельзя просто умножить 2 на 3 и возвести результат в 5 степень — это приведет к неверному ответу. Мы должны сначала возвести 2 в квадрат, а 3 в куб, а затем перемножить полученные числа. Однако, если нам нужно умножить 2 в произвольной степени на 4 в произвольной степени, мы можем представить 4 как 2 в квадрате и просто сложить степени. Если мы складываем или вычитаем два числа, возведенных в степень, здесь нет определенного правила — мы должны возвести и сложить (вычесть) результаты: a^3 + b^4 нельзя упростить и это не требуется.