Как найти тангенс и котангенс через косинус?
Вопрос
Когда мы знаем значение косинуса угла, мы можем использовать его, чтобы найти такие тригонометрические функции, как тангенс и котангенс. Как найти тангенс угла, если известен косинус? Как найти котангенс угла, если известен косинус? Давай разберемся!
Ответы ( 4 )
Вероятно, все помнят основное тождество тригонометрии: синус в квадрате плюс косинус в квадрате равно единице. Я также ясно запомнил следующие простые формулы: квадрат тангенса плюс один равно квадрат секанса, и квадрат котангенса плюс один равно квадрат косеканса. Кроме того, есть три определения: секанс равен единице, деленной на косинус, косеканс равен единице, деленной на синус, и котангенс равен единице, деленной на тангенс. Теперь остается выбрать нужные формулы и применить их. Предположим, что косинус равен корню из трех, деленному на два, тогда секанс будет равен двум, деленному на корень из трех, квадрат секанса будет равен четырем, деленным на три, квадрат тангенса будет равен единице, деленной на три, тангенс будет равен единице, деленной на корень из трех, и котангенс будет равен корню из трех.
Для нахождения тангенса угла по известному косинусу, мы можем использовать соотношение между тангенсом и косинусом:
тангенс угла = синус угла / косинус угла.
Сначала нам нужно найти синус угла. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора:
синус угла = корень из (1 — косинус^2 угла).
Затем мы можем подставить найденное значение синуса и известный косинус в формулу для нахождения тангенса угла.
Чтобы найти котангенс угла по известному косинусу, мы можем использовать соотношение между котангенсом и косинусом:
котангенс угла = 1 / тангенс угла.
Таким образом, после нахождения тангенса угла, мы можем просто взять его обратное значение, чтобы найти котангенс.
Помните, что значения тангенса и котангенса могут быть определены только для определенных углов. Если известен только косинус, то нам нужно знать, в какой четверти находится угол, чтобы правильно определить знак тангенса и котангенса.
Тригонометрические функции, такие как синус, косинус, тангенс и котангенс угла, взаимосвязаны между собой. Для вычисления одной функции, если известна другая, нужно использовать основные тригонометрические равенства и определение этих функций. Зная все это, можно выразить одну функцию через другую. Тангенс угла представляет собой отношение синуса угла к его косинусу. Котангенс угла, в свою очередь, является отношением косинуса угла к его синусу. Используя основное тригонометрическое тождество (sin²α + cos²α = 1), можно выразить синус через косинус: sinα = √(1 — cos²α) для углов в первой и второй четвертях, sinα = -√(1 — cos²α) для углов в третьей и четвертой четвертях. Подставив эту формулу для синуса в формулы для тангенса и котангенса, получим формулы для вычисления значений этих функций: tgα = ± √(1 — cos²α) / cosα, ctgα = ± cosα / √(1 — cos²α). Котангенс, однако, можно вычислить проще, вспомнив, что котангенс является обратной функцией тангенса, то есть ctgα = 1 / tgα. Подставив значение тангенса в формулу, можно вычислить котангенс.
tg а можно выразить как Sin a/Cos a. Чтобы выразить Sin a через Cos a, воспользуемся основной тригонометрической формулой Sin^2 a + Cos^2 a = 1. Таким образом, Sin^2 a = 1 — Cos^2 a. Значит, Sin a = √(1 — Cos^2 a). Подставим это значение в формулу для tg: tg = √(1 — Cos^2 a)/Cos a. Например, при значении угла a = 60 градусов, Cos 60° = 0,5. Тогда tg = √(1 — 0,25)/0,5 = √(0,75)/0,5 = √(3*0,25)/0,5 = (0,5*√3)/0,5 = √3 = 1,732… . Также существует обратная функция к tg, называемая ctg, которая равна Cos a/Sin a. Изначально это значение обратное tg а. Например, при значении угла a = 60°, ctg 60° = 1/√3 = √3/3 = 0,57735… .
Чтобы найти тангенс и котангенс через косинус, достаточно использовать тригонометрические формулы: tgα = sinα / cosα и ctgα = cosα / sinα. Используя известное значение косинуса, мы можем найти синус с помощью основного тригонометрического тождества: sin²α + cos²α = 1. В зависимости от четверти, в которой находится угол α, мы можем определить знак синуса: sinα = √(1 — cos²α) в 1 и 2 четверти и sinα = — √(1 — cos²α) в 3 и 4 четверти. Таким образом, для тангенса мы имеем формулу: tgα = ± √(1 — cos²α) / cosα, а для котангенса: ctgα = ± cosα / √(1 — cos²α). Так как тангенс и котангенс образуют произведение, равное 1, мы также можем найти котангенс с использованием формулы: ctgα = 1 / tgα.
Возьмем, например, угол α, чей косинус равен 0,94 и который находится в 1 четверти (0°). Используя формулу tgα = √(1 — cos²α) / cosα, мы можем найти тангенс и котангенс. В первой четверти как синус, так и косинус положительны, поэтому и тангенс, и котангенс также будут положительными. Таким образом, tgα ≈ 0,34 / 0,94 ≈ 0,36, а ctgα ≈ 1 / 0,36 ≈ 2,78.